MAT01 Mathematische Grundlagen

Man ermittle die reellen Zahlen-Intervalle, in denen die Funktion \(f(x)=-12x^2+8x-1\) monoton wachsend bzw. fallend ist.

Problem einordnen

In dieser Aufgabe sollen wir für die Funktion \(f(x)=-12x^2+8x-1\) bestimmen, für welche x Werte die Funktion streng monoton steigend resp. fallend ist.

Sie brauchen folgende Kenntnisse, um diese Aufgabe lösen zu können:

• Überprüfung der Monotonie: Tietze Kapitel 6.2.2, Satz 6.2.2

Formaler Lösungsweg

(i) Berechnung des Bereichs, für welchen die Funktion f streng monoton wachsend ist

Hierfür berechnen wir die erste Ableitung der Funktion f(x), also f'(x) und schauen danach, für welche x Werte die Ableitungsfunktion f'(x) positiv ist: \(f'(x)=-24x+8 > 0 \quad \Rightarrow \quad 8 > 24x\). Division durch die positive Zahl 24 auf beiden Seiten ergibt: \(1/3 > x\). (Weil wir durch eine positive Zahl 24 geteilt haben, ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht). Wir folgern: Für \(x < 1/3\) ist die Funktion f (und nicht etwa f'(x)!) streng mononton steigend.

(ii) Berechnung des Bereichs, für welchen die Funktion f streng monoton fallend ist

Hierfür berechnen wir die erste Ableitung der Funktion f(x), also f'(x) und schauen danach, für welche x Werte die Ableitungsfunktion f'(x) negativ ist: \(f'(x)=-24x+8 < 0 \quad \Rightarrow \quad 8 < 24x\). Division durch die positive Zahl 24 auf beiden Seiten ergibt: \(1/3 < x\). (Weil wir durch eine positive Zahl 24 geteilt haben, ändert sich das Ungleichheitszeichnen nicht). Wir folgern: Für \(x > 1/3\) ist die Funktion f (und nicht etwa f'(x)!) streng mononton fallend.

Wir wissen nun, ohne die Funktion \(f(x)\) skizziert zu haben, mit Hilfe der ersten Ableitung von \(f(x)\), für welchen Bereich die Funktion \(f(x)\) streng monoton steigend resp. fallend ist. Zum Schluss können wir das Resultat überprüfen, indem wir die Funktion \(f(x)\) skizzieren und überprüfen, ob die Funktion tatsächlich für \(x < 1/3\) streng mononton steigend (resp. für \(x > 1/3\) streng mononton fallend) ist. Die Grafik finden Sie hier.

Wie wir gesehen haben, mussten wir über die erste Ableitung f' gehen, um den kritischen Wert von \(x=1/3\) für die Monotonie zu bekommen. Den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung f' und die Monotonie von f sehen sie grafisch hier. Links von x=1/3 ist f' positiv (also oberhalb der x-Achse), also ist f streng mononton steigend. Rechts von x=1/3 ist f' negativ (also unterhalb der x-Achse), also ist f streng mononton fallend.

Alternative Methode

Wer ungern mit Ungleichheitszeichen arbeitet, der kann diese Aufgabe auch wie folgt lösen: Zuerst wird geschaut, bei welchem x die Ableitungsfunktion f'(x) den Wert null annimmt. \(f'(x)=-24x+8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=1/3\). Nun kann ein Wert "links" von \(x=1/3\) in f'(x) eingesetzt werden (also, z.B. \(x=0\)) und nachher ein Wert "rechts" von \(x=1/3\) in f'(x) eingesetzt werden, also z.B. \(x=1\), um zu überprüfen, ob f'(x) dann jeweils grösser oder kleiner als null ist.

Aus \(f'(0)=-24 \cdot 0+8 = 8 > 0\) folgt, dass für \(x < 1/3\) die Funktion f(x) streng monoton steigend ist. Aus \(f'(1)=-24 \cdot 1+8 = -16 < 0\) folgt, dass für \(x > 1/3\) die Funktion f(x) streng monoton fallend ist.

Achtung: Diese alternative Methode kann nicht immer 1:1 so eingesetzt werden (siehe hierzu folgende zwei Beispiele (i) und (ii)).

(i) Die Funktion \(f(x)=2x\) beispielsweise ist eine streng monoton steigende Funktion (mit konstanter Steigung von 2). Mit der alternativen Methode würden wir zuerst f'(x) berechnen, also \(f'(x)=2\), und dann \(f'(x)=0\) setzen, also \(f'(x)=2=0\). Es gibt aber kein x für diese Funktion, bei welchem 2=0 erfüllt ist. (Die Funktion ist ja für alle x streng monoton steigend. Dies erkennt man, da \(f'(x)=2 > 0\) für alle x)

(ii) Die Funktion \(f(x)=(1/3)x^3-4x+1\) ist streng monoton steigend für \(x < -2\) und \(x > 2\), aber streng mononton fallend für \(-2 < x < 2\). Mit der alternativen Methode würden wir wie folgt vorgehen: \(f'(x)=x^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad {x_1}=-2\) und \({x_2}=2\). Aufgrund der berechneten zwei Stellen muss nun die x-Achse in drei Intervalle eingeteilt werden: \(x < -2\), \(-2 < x < 2\), \(x > 2\). In diesen Intervallen wird nun jeweils eine beliebige Stelle genommen und in die Ableitungsfunktion f'(x) eingesetzt, um das Vorzeichen von f'(x) zu prüfen. Für das erste Intervall können wir z.B. x=-3 nehmen: \(f'(-3)=(-3)^2-4=5 > 0\). Also wissen wir, dass f(x) streng mononton steigend ist für \(x < -2\). Für das zweite Intervall können wir z.B. x=0 nehmen: \(f'(0)=0^2-4=-4 < 0\). Also wissen wir, dass f(x) streng mononton fallend ist für \(-2 < x < 2\). Für das dritte Intervall können wir z.B. x=5 nehmen: \(f'(5)=(5)^2-4=21 > 0\). Also wissen wir, dass f(x) streng mononton steigend ist für \(x > 2\).

\(f'(x)=-24x+8\)

I: \(f'(x)=-24x+8 > 0\quad \Rightarrow \quad 1/3 > x \quad \Rightarrow \quad \) f(x) ist streng monoton steigend für \(x < 1/3\)

II: \(f'(x)=-24x+8 < 0\quad \Rightarrow \quad 1/3 < x \quad \Rightarrow \quad \) f(x) ist streng monoton fallend für \(x > 1/3\)